[RSTAT101] 5강. 상관계수의 의미와 시각화

상관 계수(correlation coefficient)

두 개의 변수의 값을 관찰하고 있다고 생각합시다. 예를 들어 우리가 이제까지 사용했던 데이터에서 중간고사 점수과 기말고사 점수를 생각해보죠. 이 점수들을 쌍으로 묶으면, \((x_i, y_i)\)라고 생각 할 수 있고, \(i = 1, ..., n\) 명의 학생들의 점수를 가지고 있다고 생각합시다. 이러한 경우 상관 계수는 다음과 같은 공식을 통해 계산 할 수 있습니다.

\[ r=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}-\bar{x}}{s_{x}}\right)\left(\frac{y_{i}-\bar{y}}{s_{y}}\right) \] 위의 공식에서 \(\bar{x}, \bar{y}\)와 \(s_x, s_y\)는 중간, 기말고사 점수의 표본 평균값과 표본 표준편차를 각각 나타냅니다.

상관계수를 생각할 경우 우리가 알고 넘어가야 할 내용들은 다음과 같습니다.

1. 상관계수는 두 변수의 선형적인 관계를 측정하는 지표이다.
2. \(r\)은 언제나 \(-1\)에서 \(1\)사이의 값을 갖는다.
3. \(r>0\) 인 경우는 양의 상관성을, \(r<0\) 인 경우는 음의 상관성을, 마지막으로 \(r=0\)인 경우는 선형 상관성이 존재하지 않는 것을 나타낸다.
4. \(r=0\) 은 두 변수사이의 관계가 존재하지 않는 다는 것을 의미하는 것이 아닙니다. 선형 상관이 아닌 다른 여러가지 상관성이 존재하죠.
5. 상관계수는 단위가 존재하지 않습니다.

위키피디아의 상관계수의 값에 따른 변화를 그려놓은 그림은 상관계수를 이해하는데 아주 도움이 많이 됩니다.

위키피디아의 상관계수에 따른 분포 변화

R에서 상관 계수 구하기 (correlation coefficient)

mydata <- read.csv("examscore.csv", header = TRUE)

R에서는 cor이라는 함수를 상관계수를 구할 때 사용할 수 있습니다.

my_corr <- cor(mydata$midterm, mydata$final)
my_corr

>> [1] 0.6770075

cor함수가 정말 위의 공식을 사용해서 값을 구하는지 확인해 보기 위하여, 배운 공식을 그대로 사용하여 상관계수를 구해보면 다음과 같습니다.

n <- length(mydata$midterm)
x_bar <- mean(mydata$midterm)
y_bar <- mean(mydata$final)
s_x <- sd(mydata$midterm)
s_y <- sd(mydata$final)
z_x <- (mydata$midterm - x_bar) / s_x
z_y <- (mydata$final - y_bar) / s_y
sum(z_x * z_y) / (n - 1)

>> [1] 0.6770075

우리가 week 2에서 배운 시각화를 통하여 두 변수의 분포를 시각화 시켜보자.

plot(mydata$midterm, mydata$final, asp = 1,
     xlab = "중간고사", 
     ylab = "기말고사",
     main = "시험점수 산점도")
title(sub = paste("상관계수: ", round(my_corr, 4)), adj = 1, col.sub = "red")
abline(v = x_bar)
abline(h = y_bar)

두 변수의 분포가 우상향하는 것을 알 수 있고, 이러한 분포는 상관계수값 0.6과 상응하는 것입니다. 또한, 중간고사 점수의 평균과 기말고사의 평균을 각각 수직선과 수평선으로 나타내었는데, 이것을 통해 우리는 데이터가 두 변수의 평균을 새로운 좌표축으로 생각했을때 1사분면과 3사분면에 많이 분포하고 있다는 것을 나타냅니다.

이것은 상관계수가 내포하는 의미를 좀 생각해보기 위해서 앞에서 구했던 z_x와 z_y들을 나타내보도록 하겠습니다. z_x와 z_y는 각각 중간, 기말 고사 점수를 표준화 시켰던 값들이었습니다.

plot(z_x, z_y, asp = 1,
     xlab = "표준 중간고사 점수", 
     ylab = "표준 기말고사 점수",
     main = "중간, 기말고사 표준점수 분포")
title(sub = paste("상관계수: ", round(my_corr, 4)), adj = 1, col.sub = "red")
abline(v = 0)
abline(h = 0)

위에서 살펴본 상관계수 식을 뜯어보면, 우리는 두 표준화된 점수를 곱한 값을 더해서 나줘주는 것을 알 수 있죠. 우리가 1, 2, 3, 4 사분면에 위치한 점들의 \(x, y\) 값을 곱한 값을 생각했을 경우, 1, 3 사분면에 위치한 점들은 양수가, 2, 4 사분면에 위치한 점들은 음수가 나올 것입니다. 다음과 같이 말이죠.

z_x * z_y

>>  [1]  0.055356131  0.049164984  0.224095213  0.079635135 -0.207706885
>>  [6]  0.830827538 -0.368312500  0.048072429  1.237136681 -0.094566723
>> [11] -0.347432556  0.301302447  1.331096429  0.429010012  0.168374897
>> [16]  0.307979174 -0.139240092  0.619600198  0.274595542  2.085202312
>> [21]  3.577389937  3.697449615  2.083259992 -0.201394343  0.205400379
>> [26]  0.003641851 -0.137540561  0.599691414  2.360890410  0.560238032

sign 함수를 이용하여 이 수들의 부호만 따로 정리를 해보도록 하겠습니다.

sign(z_x * z_y)

>>  [1]  1  1  1  1 -1  1 -1  1  1 -1 -1  1  1  1  1  1 -1  1  1  1  1  1  1 -1  1
>> [26]  1 -1  1  1  1

이 부호를 이용하면 다음과 같은 그래프가 완성됩니다.

plot(z_x, z_y, asp = 1,
     xlab = "표준 중간고사 점수", 
     ylab = "표준 기말고사 점수",
     main = "중간, 기말고사 표준점수 분포",
     col = c("blue", "red")[as.factor(sign(z_x * z_y))])
title(sub = paste("상관계수: ", round(my_corr, 4)), adj = 1, col.sub = "red")
abline(v = 0)
abline(h = 0)

즉, 위의 그래프에서 빨간 점들은 양의 상관관계가 나오도록 도와주는(?) 데이터들이고, 파란 점들은 음의 상관관계가 나오도록 도와주는 데이터 들이라고 생각하면 좋습니다. 하지만, 부호만이 이렇게 상관관계에 영향을 미칠까요? 아닙니다. 한가지 요소가 더 있습니다. 바로 표준 점수들의 곱의 절대값 크기죠!

abs(z_x * z_y)

>>  [1] 0.055356131 0.049164984 0.224095213 0.079635135 0.207706885 0.830827538
>>  [7] 0.368312500 0.048072429 1.237136681 0.094566723 0.347432556 0.301302447
>> [13] 1.331096429 0.429010012 0.168374897 0.307979174 0.139240092 0.619600198
>> [19] 0.274595542 2.085202312 3.577389937 3.697449615 2.083259992 0.201394343
>> [25] 0.205400379 0.003641851 0.137540561 0.599691414 2.360890410 0.560238032

이 값을 점의 크기로 대체하여 봅시다.

plot(z_x, z_y, asp = 1,
     xlab = "표준 중간고사 점수", 
     ylab = "표준 기말고사 점수",
     main = "중간, 기말고사 표준점수 분포",
     col = c("blue", "red")[as.factor(sign(z_x * z_y))],
     cex = abs(z_x * z_y))
title(sub = paste("상관계수: ", round(my_corr, 4)), adj = 1, col.sub = "red")
abline(v = 0)
abline(h = 0)

위의 그래프는 상관계수의 계산 과정을 시각화 한 그래프라고 생각하면 좋을것 같습니다. 상관계수는 그래프의 모든 점들을 더 한 후에 데이터의 개수 (-1) 만큼 나눠준 값이니까요. 값을 보면, 빨간 큰 점들이 많이 보이니, 당연히 작은 파란색 점들의 상관계수에 대한 영향력은 줄어 들 것입니다. 오늘은 여기까지 하도록 하겠습니다. 감사합니다.